Code-Beispiel

Legendre Polynome

Lizenz:	Erster Autor:	Letzte Bearbeitung:
k. A.	TJF	17.04.2012

Polynome 0. bis 14. Ordnung

Der folgende Quelltext definiert eine Datenstruktur (UDT / TYPE) zur Generierung eines Satzes von Legendre Polynomen. Dies sind Funktionen, die einer Variablen X einen Wert Y zuweisen.

Das besondere an Legendre Polynomen ist, dass sie in dem Interval [-1, 1] orthogonal sind, also linear unabhängig. Durch diese Eigenschaft eignen sie sich für besondere mathematische Anwendungen, z. B. für die X/Y-Regression.

Die Polynome können mit beliebiger Potenz der Variable X erzeugt werden (im Rahmen der Rechengenauigkeit), wodurch die Anzahl der Nullstellen und damit die Welligkeit der Polynome bestimmt wird.

Zur Anwendung wird die Bibliothek libFBla benötigt. Der folgende Quelltext sollte unter dem Namen "LegendrePolynom.bas" abgespeichert werden.

' This is file "LegendrePolynom.bas"

' (C) LGPLv2 by Thomas[ dot ]Freiherr{ at }gmx{ dot }net



#INCLUDE ONCE "../libFBla/libFBla.bas"



#DEFINE LP_Posi(_P_) CUINT((_P_ + 1) ^ 2 / 4)



TYPE LegendrePolynom

  DECLARE CONSTRUCTOR(BYVAL O AS UINTEGER)

  DECLARE FUNCTION Ord_() AS UINTEGER

  DECLARE FUNCTION Par_(BYVAL N AS UINTEGER, BYVAL O AS UINTEGER) AS DOUBLE

  DECLARE FUNCTION Val_(BYVAL X AS DOUBLE, BYVAL O AS UINTEGER) AS DOUBLE

Private:

  AS LA_V Param

  AS UINTEGER Order

END TYPE



CONSTRUCTOR LegendrePolynom(BYVAL O AS UINTEGER)

  Order = O

  Param = LA_V(LP_Posi(O + 1))

  Param.Val_(0) = 1. : IF O = 0 THEN EXIT CONSTRUCTOR

  Param.Val_(1) = 1.

  FOR n AS INTEGER = 2 TO O

    VAR f = (1 - n) / n, po = LP_Posi(n - 2), p = LP_Posi(n)

    FOR i AS INTEGER = 1 TO n SHR 1

      Param.Val_(p) = f * Param.Val_(po)

      p += 1 : po += 1

    NEXT

    p = LP_Posi(n) + IIF(BIT(n, 0), 0, 1)

    f = (2 * n - 1) / n

    FOR i AS INTEGER = 1 TO (n + 1) SHR 1

      Param.Val_(p) = Param.Val_(p) + f * Param.Val_(po)

      p += 1 : po += 1

    NEXT

  NEXT

END CONSTRUCTOR



FUNCTION LegendrePolynom.Ord_() AS UINTEGER

  RETURN Order

END FUNCTION



FUNCTION LegendrePolynom.Val_(BYVAL X AS DOUBLE, BYVAL O AS UINTEGER) AS DOUBLE

  VAR i = LP_Posi(O), p = -BIT(O, 0), r = Param.Val_(i) * X ^ p

  FOR n AS UINTEGER = 1 TO O SHR 1

    p += 2

    i += 1

    r += Param.Val_(i) * X ^ p

  NEXT : RETURN r

END FUNCTION



FUNCTION LegendrePolynom.Par_(BYVAL N AS UINTEGER, BYVAL O AS UINTEGER) AS DOUBLE

  IF N > O THEN RETURN 0.

  IF BIT(O, 0) ANDALSO 0 = BIT(N, 0) THEN RETURN 0.

  IF 0 = BIT(O, 0) ANDALSO BIT(N, 0) THEN RETURN 0.

  RETURN Param.Val_(LP_Posi(O) + (N SHR 1))

END FUNCTION

Anwendung

Mit VAR neu = LegendrePolynom(xx) wird unter dem Namen neu ein Satz von Polynomen von 0. bis xx. Ordnung erzeugt. Z. B. werden für xx = 7 dann 8 Polynome von der Ordnung 0 bis 7 erzeugt. Das Polynom 0. Ordnug ist konstant = 1, hat also keine Nullstelle. Das Polynom 7. Ordnung hat 7 Nullstellen im Intervall [-1, 1].

Der Funktionswert eines Polynoms wird mit der Funktion neu.Val_(X_Wert, Ordnung) berechnet. Um z. B. den Wert des Polynoms 3. Grades and der Stelle X = 0.375 zu berechnen, verwendet man neu.Val_(0.375, 3).

Die Parameter der Polynome können einzeln abgefragt werden, z. B. um Ableitungen zu berechnen. Dazu dient die Funktion neu.Par_(Parameter#, Ordnung). Um z. B. den 4. Parameter des Polynoms 7. Ordnung abzufragen, verwendet man neu.Par_(4, 7).

Die höchste Potenz des zuvor generierten Polynom-Satzes (die maximale Ordnung) kann mit der Funktion neu.Ord_() bestimmt werden.

Beispiel

' This is file "LegendrePolynomTest.bas"

' (C) GPLv3 by Thomas[ dot ]Freiherr{ at }gmx{ dot }net



#INCLUDE ONCE "LegendrePolynom.bas"



' Generate 15 polynomials (order 0 to 14)

VAR neu = LegendrePolynom(14)



' Prepare graphics

CONST gr = 1.01, bg = 30

SCREENRES 800, 600, 8

WINDOW (-gr, -gr) - (gr, gr)

COLOR 0, bg : CLS



' View each polynom

CONST st = 0.005

FOR i AS INTEGER = 0 TO neu.Ord_()

  COLOR i + 1, 0

  FOR x AS DOUBLE = -1 TO 1 + st / 2 STEP st

    CIRCLE (x, neu.Val_(x, i)), st, , , , , F

  NEXT



' Wait for user action

  LINE (-0.5, -0.90) - STEP(0.9, -0.09), bg, BF

  DRAW STRING (-0.35, -0.95), i & ".Ordnung. (Taste druecken)"

  SLEEP : IF ASC(INKEY) = 27 THEN EXIT FOR

NEXT



' View parameters of 14. polynom

CLS : COLOR 15

VAR o = neu.Ord_()

? "Das Polynom " & o & ". Ordnung:"

? : ? : ?

? "f(x) ="

? : ?

? "X ^  0  *  " & neu.Par_(0, o)

FOR i AS INTEGER = 1 TO o

  ? : ? " +" : ?

  ? "X ^";

  ? USING "###"; i;

  ? "  *  " & neu.Par_(i, o)

NEXT



SLEEP

Anmerkung

Der Quelltext verwendet eine optimierte Methode zur Speicherung der Parameter, die einerseits geringen Speicherverbrauch zur Folge hat und andererseits schnelle Berechnung von Polynomen höheren Grades ermöglicht. Dabei wird sowohl die Dreieck-Struktur der Parametermatrix ausgenutzt, als auch die Tatsache, dass bei Legendre-Polynomen jeder zweite Parameter gleich 0 ist.

English

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Zusätzliche Informationen und Funktionen

Das Code-Beispiel wurde am 29.04.2011 von TJF angelegt.
Die aktuellste Version wurde am 17.04.2012 von TJF gespeichert.

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